Смену способа хеширования пароля вы можете провернуть только при участии каждого пользователя, в два этапа.
1 этап.
Делаете патч в функцию авторизации.
Когда пользователь авторизуется, проверяете, что заполнено поле по хешу новой функции.
Если оно заполнено по новой функции, то все проверки верности пароля проводите с ней, поле старой функции игнорируете.

Если хеш по новой функции не заполнен, то проверяете, что пароль верен с точки зрения хеша старой функции. Если верен пароль, то записываете хеш по новой функции, так как у вас есть исходный пароль.
Так вы накапливаете базу пользователей, которые часто заходят. И для них вы бесшовно меняете хеши.

2 этап
Когда число поменянных хешей примерно будет равно числу активных пользователей за определенный период, то в патче запрещаете пользоваться старым хешем для проверки паролей, отправляете пользователя принудительно восстанавливать пароль по другим учетным данным, например, по эл. почте.
При восстановлении доступа пароль хешировать новой функцией.
Все, с этого момента можно избавиться от логики использования старого хеша.

До того, как увидеть табличку на странице браузера с человеком аккуратно поработали соц. инженерией. Дали ссылку на расширение браузера, дали почитать письмецо с нужным наполнением, порекомендовали установить "свои" гос. услуги на комп/телефон...
Магии в этом нет, все делается словами и убеждением. Госуслуги, да и любая система тут не причем.